Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：
①abc＞0；②b²-4ac＞0；③9a+3b+c＜0；④8a+c＜0；⑤P=|a-b+c|+|2a+b|，Q=|a+b+c|+|2a-b|，P＜Q．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：由拋物線開(kāi)口方向得到a＞0，由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1得到b=-2a＜0，由拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸下方得到c＜0，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）和（4，0）之間，則x=3時(shí)，y＜0，所以9a+3b+c＜0，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于x=-2時(shí)，y＞0，即4a-2b+c＞0，加上b=-2a，于是可對(duì)④進(jìn)行判斷；由于x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0，x=-1時(shí)，y＜0，即a-b+c＜0，則可對(duì)P、Q進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到P=|a-b+c|+|2a+b|=-3a-c，Q=5a-c，再計(jì)算Q-P=8a＞0，于是可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，
∴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＜0，
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正確；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac＞0，所以②正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（-2，0）和（-1，0）之間，
而對(duì)稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）和（4，0）之間，
∴x=3時(shí)，y＜0，即9a+3b+c＜0，所以③正確．
∵x=-2時(shí)，y＞0，即4a-2b+c＞0，
而b=-2a，
∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，所以④錯(cuò)誤；
∵x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0；x=-1時(shí)，y＜0，即a-b+c＜0，
∴P=|a-b+c|+|2a+b|=-a+b-c=-a+b-c=-a-2a-c=-3a-c
Q=|a+b+c|+|2a-b|=-a-b-c+4a=3a+2a+c=5a-c，
∴Q-P=5a-c-（-3a-c）=8a＞0，
∴P＜Q，所以⑤正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．