Question

【題目】若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)M滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)M叫做“整點(diǎn)”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整點(diǎn)”．拋物線y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，若該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有七個(gè)整點(diǎn)，則m的取值范圍是（　　）

A. ≤m＜1B. ＜m≤1C. 1＜m≤2D. 1＜m＜2

Answer 1

【答案】B

【解析】

畫(huà)出圖象，利用圖象可得m的取值范圍

∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0，

∴該拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2），對(duì)稱軸是直線x＝2．

由此可知點(diǎn)（2，0）、點(diǎn)（2，﹣1）、頂點(diǎn)（2，﹣2）符合題意．

①當(dāng)該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣1）和（3，﹣1）時(shí)（如答案圖1），這兩個(gè)點(diǎn)符合題意．

將（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1．

此時(shí)拋物線解析式為y＝x2﹣4x+2．

由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得

∴x軸上的點(diǎn)（1，0）、（2，0）、（3，0）符合題意．

則當(dāng)m＝1時(shí)，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）這7個(gè)整點(diǎn)符合題意．

∴m≤1．【注：m的值越大，拋物線的開(kāi)口越小，m的值越小，拋物線的開(kāi)口越大】

答案圖1（m＝1時(shí)） 答案圖2（ m＝時(shí)）

②當(dāng)該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（4，0）時(shí)（如答案圖2），這兩個(gè)點(diǎn)符合題意．

此時(shí)x軸上的點(diǎn) （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合題意．

將（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝．

此時(shí)拋物線解析式為y＝x2﹣2x．

當(dāng)x＝1時(shí)，得．∴點(diǎn)（1，﹣1）符合題意．

當(dāng)x＝3時(shí)，得.∴點(diǎn)（3，﹣1）符合題意．

綜上可知：當(dāng)m＝時(shí)，點(diǎn)（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合題意，共有9個(gè)整點(diǎn)符合題意，

∴m＝不符合題．

∴m＞．

綜合①②可得：當(dāng)＜m≤1時(shí)，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)有七個(gè)整點(diǎn)，

故選：B．