Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CEAB于E，CD平分ECB，交過(guò)點(diǎn)B的射線于D，交AB于F，且BC=BD．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若AE=9，CE=12，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

（2）BF=10

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)垂直的定義可得∠CEB=90°，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，判斷出∠1=∠D，從而根據(jù)平行線的判定得到CE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DBA=∠CEB，由此可根據(jù)切線的判定得證結(jié)果；

（2）連接AC，由射影定理可得，進(jìn)而求得EB的長(zhǎng)，再由勾股定理求得BD=BC的長(zhǎng)，然后由“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似”的性質(zhì)證得△EFC∽△BFD，再由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果．

試題解析：（1）證明：∵，

∴ ．

∵ CD平分，BC=BD，

∴ ，．

∴ ．

∴ ∥．

∴ ．

∵ AB是⊙O的直徑，

∴ BD是⊙O的切線．

（2）連接AC，

∵ AB是⊙O直徑，

∴ ．

∵，

可得 ．

∴

在Rt△CEB中，∠CEB=90，由勾股定理得

∴ ．

∵ ，∠EFC =∠BFD，

∴ △EFC∽△BFD．

∴ ．

∴ ．

∴ BF=10．

考點(diǎn)：切線的判定，相似三角形，勾股定理