Question

【題目】如圖：C、D是以AB為直徑的⊙O上的點(diǎn)，，弦CD交AB于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)PB是⊙O的切線時(shí)，求證：∠PBD＝∠DAB；

（2）求證：BC2－CE2＝CE·DE.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，∠ADB=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和有∠BAD＋∠ABD=90°.根據(jù)PB是⊙O的切線，得到∠ABP=90°，得到∠PBD＋∠ABD=90°，根據(jù)同角的余角相等即可證明.

（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得到∠ABC=∠BDC，而∠ECB=∠BCD，即可證明△BCE∽△DCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BC2=CE·CD，BC2－CE2=CE·CD－CE2

=CE(CD－CE)=CE·DE.即可證明.

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即∠BAD＋∠ABD=90°.

∵PB是⊙O的切線，

∴∠ABP=90°，即∠PBD＋∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠PBD.

（2）∵=,

∴∠ABC=∠BDC，而∠ECB=∠BCD，

∴△BCE∽△DCB，

∴BC2=CE·CD，

∴BC2－CE2=CE·CD－CE2=CE(CD－CE)=CE·DE.