Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB的延長線上，且BP＝6．一動點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運(yùn)動，到達(dá)A點(diǎn)后，立即以原速度沿AO返回；另一動點(diǎn)F從P點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運(yùn)動，點(diǎn)E、F同時出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時停止運(yùn)動．在點(diǎn)E、F的運(yùn)動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（）．

（1）當(dāng)t= 時，等邊△EFG的邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C時；

（2）在整個運(yùn)動過程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；

（3）設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點(diǎn)為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝2；

（2）當(dāng)0≤t＜2時，S= 4t＋16；當(dāng)2≤t＜6時，S= t 2+6t＋；當(dāng)6≤t＜8時，S= －8t＋80；當(dāng)8≤t＜12時，S=t2－24t＋144；

（3）存在5個這樣的值，使△AOH是等腰三角形，即： t=6－2或t=6＋2或t=4或t=8或t=0．

【解析】試題分析：（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C時，∠CFB=60°，BF=6-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點(diǎn)，分為0≤t<2，2≤t<6，6≤t<8，8≤t<12四種情況，分別寫出函數(shù)關(guān)系式；（3）存在．當(dāng)△AOH是等腰三角形時，分為AH=AO=6，HA=HO，OH=OA三種情況，分別畫出圖形，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，列方程求t的值．

試題解析：(1)當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C時，∠CFB=60°，BF=6t，

在Rt△CBF中，BC=2，

∴tan∠CFB=，

∴tan60°=，

∴=，

∴t=4，

∴當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C時，時間為t=4，

(2)如圖1，

過點(diǎn)M作MN⊥AB，

①當(dāng)0t<2時，如圖1，

∵tan60°===，

∴NE=4，

∵EB=6+t，NB=6+t4=2+t，

∴MC=2+t，

∴S= (MC+EB)×BC= (2+t+6+t)×4=4t+16；

②當(dāng)2t<6時，如圖2，

∵M(jìn)N=4，EF=OP=12，

∴GH=12×=6，

∴ =，

∴MK=4，

∵EB=6+t,BF=6t,BQ=，

∴BQ= (6t),CQ=4BQ=t2.

∴S=S梯形MKFES△QBF=(MK+EF)×MNBF×BQ==t2+6t+14；

③如圖3，

當(dāng)6t<8時，

∵M(jìn)N=4,EF=122(t6)=242t，

∴GH=(242t)×= (12t)，

∴ =，

∴MK=162t，

∴S= (MK+EF)×MN= (162t+242t)×4=8t+80；

④如圖4，

當(dāng)8t<12時，

∵EF=242t,高為：EF×sin60°=EF= (242t)

S=EF×EF= (242t) 2 =t224t+144

(3)存在，理由如下：

在Rt△ABC中,tan∠CAB= =，

∴∠CAB=30°.

又∵∠HEO=60°，

∴∠HAE=∠AHE=30°.

∴AE=HE=6t或t6.

(Ⅰ)當(dāng)AH=AO=6時，如圖5，

過點(diǎn)E作EM⊥AH于M,則AM=AH=3.

在Rt△AME中,cos∠MAE=，

∴AE=2，

即6t=2或t6=2,t=62或6+2.

(Ⅱ)當(dāng)HA=HO時，如圖6，

則∠HOA=∠HAO=30°，

又∵∠HEO=60°，

∴∠EHO=90°.

∴EO=2HE=2AE.

又∵AE+EO=6，

∴AE+2AE=6.

∴AE=2.

即6t=2或t6=2，

t=4或8.

(Ⅲ)當(dāng)OH=OA時，如圖7，

則∠OHA=∠OAH=30°，

∴∠HOB=60°=∠HEB.

∴點(diǎn)E和O重合，

∴AE=6.

即6t=6或t6=6，

t=12(舍去)或t=0.

綜上所述,存在5個這樣的值,使△AOH是等腰三角形,即：t=62或t=6+2或t=4或t=8或t=0.