Question

如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，點E為CD邊上的中點，連接AE，將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E，D′E交AC于F點．若AB=6

2

cm．
（1）AE的長為

 

cm；
（2）試在線段AC上確定一點P，使得DP+EP的值最小，并求出這個最小值；
（3）求點D′到BC的距離．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的長，進而求出CD的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進而得出答案；
（2）首先得出△ADE為等邊三角形，進而求出點E，D′關于直線AC對稱，連接DD′交AC于點P，此時DP+EP值為最小，進而得出答案；
（3）連接CD′，BD′，過點D′作D′G⊥BC于點G，進而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），則∠D′BG=45°，D′G=GB，進而利用勾股定理求出點D′到BC邊的距離．

解答：解：（1）∵∠BAC=45°，∠B=90°，
∴AB=BC=6

2

cm，
∴AC=12cm，
∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，
∴CD=AC÷cos30°=12÷

3

2

=12×

2 3

3

=8

3

（cm），
∵點E為CD邊上的中點，
∴AE=

1

2

DC=4

3

cm．
故答案為：4

3

；

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，
∴∠ADC=60°，
∵E為CD邊上的中點，
∴DE=AE，
∴△ADE為等邊三角形，
∵將△ADE沿AE所在直線翻折得△AD′E，
∴△AD′E為等邊三角形，
∠AED′=60°，
∵∠EAC=∠DAC-∠EAD=30°，
∴∠EFA=90°，
即AC所在的直線垂直平分線段ED′，
∴點E，D′關于直線AC對稱，
連接DD′交AC于點P，
∴此時DP+EP值為最小，且DP+EP=DD′，
∵△ADE是等邊三角形，AD=AE=4

3

，
∴DD′=2×

1

2

AD×

3

=2×6=12，
即DP+EP最小值為12cm；

（3）連接CD′，BD′，過點D′作D′G⊥BC于點G，
∵AC垂直平分線ED′，
∴AE=AD′，CE=CD′，
∵AE=EC，∴AD′=CD′=4

3

，
在△ABD′和△CBD′中，

AB=BC BD′=BD′ AD′=CD′

，
∴△ABD′≌△CBD′（SSS），
∴∠D′BG=45°，
∴D′G=GB，
設D′G長為xcm，則CG長為（6

2

-x）cm，
在Rt△GD′C中
x²+（6

2

-x）²=（4

3

）²，
解得：x₁=3

2

-

6

，x₂=3

2

+

6

，
∴點D′到BC邊的距離為（3

2

-

6

）cm或（3

2

+

6

）cm．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質和銳角三角函數(shù)關系以及等邊三角形的判定與性質等知識，利用垂直平分線的性質得出點E，D′關于直線AC對稱是解題關鍵．