Question

如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）。

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是線段AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE⊥x軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)△DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

 

 

Answer 1

(1) y=x2-x-1．(2) D（1，0）;(3) P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（，--1），P4（-，-1）．

【解析】

試題分析：（1）由于拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此只需將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．

（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式，可設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AC的解析式可表示出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得到DE的長，以DE為底，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為高即可得到△CDE的面積，從而得到關(guān)于△CDE的面積與D點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△CDE的面積最大值及對應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）根據(jù)拋物線的解析式，可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而能得到直線BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線BC的解析式表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出△ACP三邊的長，從而根據(jù)：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三種不同等量關(guān)系求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）由于拋物線經(jīng)過A（2，0），C（0，-1），

則有：，解得；

∴拋物線的解析式為：y=x2-x-1．

（2）∵A（2，0），C（0，-1），

∴直線AC：y=x-1；

設(shè)D（x，0），則E（x，x-1），

故DE=0-（x-1）=1-x；

∴△DCE的面積：S=DE×|xD|=×（1-x）×x=-x2+x=-（x-1）2+，

因此當(dāng)x=1，

即D（1，0）時(shí)，△DCE的面積最大，且最大值為．

（3）由（1）的拋物線解析式易知：B（-1，0），

可求得直線BC的解析式為：y=-x-1；

設(shè)P（x，-x-1），因?yàn)锳（2，0），C（0，-1），則有：

AP2=（x-2）2+（-x-1）2=2x2-2x+5，

AC2=5，CP2=x2+（-x-1+1）2=2x2；

當(dāng)AP=CP時(shí)，AP2=CP2，有：

2x2-2x+5=2x2，解得x=2.5，

∴P1（2.5，-3.5）；

②當(dāng)AP=AC時(shí)，AP2=AC2，有：

2x2-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，

∴P2（1，-2）；

③當(dāng)CP=AC時(shí)，CP2=AC2，有：

2x2=5，解得x=±，

∴P3（，--1），P4（-，-1）；

綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（，--1），P4（-，-1）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．