Question

如圖，△BCD的各個頂點都在⊙A上，△BCD的角平分線BF交CD于點E，交⊙A于點F，連結(jié)CF，求證：BE²=BC•BD-EC•ED．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：如圖，證明△BCF∽△BED，列出比例式

BC

BE

=

BF

BD

，得到BC•BD=BE•BF；由正弦定理得：BE•EF=CE•ED，兩式相減即可解決問題．

解答：解：如圖，∵BF平分∠CBD，
∴∠CBF=∠DBF，而∠D=∠F，
∴△BCF∽△BED，
∴

BC

BE

=

BF

BD

，BC•BD=BE•BF①；
由正弦定理得：BE•EF=CE•ED②，
由①-②得：BE（BF-EF）=BC•BD-CE•ED，
即BE²=BC•BD-EC•ED．

點評：該題以圓為載體，以圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質(zhì)為考查的核心構(gòu)造而成；牢固掌握圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．