Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，連結(jié)OB，D為OB的中點(diǎn)。點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，作DF⊥DE，交OA于點(diǎn)F，連結(jié)EF。已知點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AB上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒。

（1）如圖1，當(dāng)t=3時(shí)，求DF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過(guò)程中，∠DEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠DEF的值；
（3）連結(jié)AD，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分面積之比為1:2時(shí)，求相應(yīng)t的值。

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)t=3時(shí)，如圖1，點(diǎn)E為AB中點(diǎn).

∵點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，

∴DE//OA，DE=OA=4，

∵OA⊥AB,

∴DE⊥AB,

∴∠OAB=∠DEA=90°,

又∵DF⊥DE,

∴∠EDF=90°

∴四邊形DFAE是矩形，

∴DF=AE=3.

（2）

解： ∵∠DEF大小不變，如圖2，

過(guò)D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分別是M、N,

∵四邊形OABC是矩形，

∴OA⊥AB,

∴四邊形DMAN是矩形，

∴∠MDN=90°，DM//AB,DN//OA,

∴,,

∵點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，

∴M、N分別是OA、AB中點(diǎn)，

∴DM=AB=3,DN=OA=4,

∵∠EDF=90°,

∴∠FDM=∠EDN.

又∵∠DMF=∠DNE=90°,

∴△DMF∽△DNE

∴,

∵∠EDF=90°,

∴tan∠DEF=

（3）

解：過(guò)D作DM⊥OA，DN⊥AB。垂足分別是M,N.

若AD將△DEF的面積分成1：2的兩個(gè)部分，設(shè)AD交EF于點(diǎn)G，則易得點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)中點(diǎn)之前時(shí).

NE=3-t，由△DMF∽△DNE得

MF=（3-t）.

∴AF=4+MF=-t+.

∵點(diǎn)為EF的三等分點(diǎn)。

∴（.t）.

由點(diǎn)A（8，0），D（4，3）得直線AD解析式為y=-χ+6.

(.t)代入，得t=.

②當(dāng)點(diǎn)E越過(guò)中點(diǎn)之后.

NE=t-3,由△DMF～△DNE得MF=（t-3）.

∴AF=4-MF=-+.

∵點(diǎn)為EF的三等分點(diǎn).

∴(.).

代入直線AD解析式y(tǒng)=-χ+6.

得t=.

【解析】（1）當(dāng)t=3時(shí)，如圖1，點(diǎn)E、D分別為AB、OB中點(diǎn)，得出DE//OA，DE=OA=4，根據(jù)OA⊥AB得出DE⊥AB，從而得出四邊形DFAE是矩形，根據(jù)矩形性質(zhì)求出DF=AE=3.
（2）如圖2，過(guò)D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分別是M、N,四邊形OABC、DMAN都是矩形，由平行得出,,由D、M、N是中點(diǎn)又可以得出條件判斷△DMF∽△DNE，從而得出tan∠DEF=。
（3）過(guò)D作DM⊥OA，DN⊥AB。垂足分別是M,N；若AD將△DEF的面積分成1：2的兩個(gè)部分，設(shè)AD交EF于點(diǎn)G，則易得點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn).
分點(diǎn)E到達(dá)中點(diǎn)之前或越過(guò)中點(diǎn)之后來(lái)討論，得出 NE，由△DMF∽△DNE得 MF和AF的長(zhǎng)度， 再算出直線AD的解析式，由點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)得出G點(diǎn)坐標(biāo)將其代入AD直線方程求出t值。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)才能正確解答此題．