Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，作點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)F，且點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連結(jié)AF，BF，EF，過(guò)點(diǎn)F作GF⊥AF交AD于點(diǎn)G，設(shè) =n.

（1）求證：AE=GE；
（2）當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，用含n的代數(shù)式表示 的值；
（3）若AD=4AB，且以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求n的值.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由對(duì)稱得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，

∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，

∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF.

∴AE=EG.

（2）

解：設(shè)AE=a，則AD=na，

當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)（如圖1），

由對(duì)稱得BE⊥AF，

∴∠ABE+∠BAC=90°，

∵∠DAC+∠BAC=90°，

∴∠ABE=∠DAC，

又∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE~△DAC ,

∴

∵AB=DC，∴AB2=AD·AE=na·a=na2,

∵AB>0，∴AB= .

∴ .

（3）

解：設(shè)AE=a，則AD=na，由AD=4AB，則AB= .

當(dāng)點(diǎn)F落在線段BC上時(shí)（如圖2），EF=AE=AB=a，

此時(shí) ，∴n=4.

∴當(dāng)點(diǎn)F落在矩形外部時(shí)，n>4.

∵點(diǎn)F落在矩形的內(nèi)部，點(diǎn)G在AD上，

∴∠FCG<∠BCD，∴∠FCG<90°，

若∠CFG=90°，則點(diǎn)F落在AC上，由（2）得 ，∴n=16.

若∠CGF=90°（如圖3），則∠CGD+∠AGF=90°，

∵∠FAG+∠AGF=90°，

∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，

∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE~△DGC，

∴ ，

∴AB·DC=DG·AE，即（ ）2=（n-2）a·a.

解得 或 （不合題意，舍去），

∴當(dāng)n=16或 時(shí)，以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

【解析】（1）因?yàn)镚F⊥AF，由對(duì)稱易得AE=EF，則由直角三角形的兩個(gè)銳角的和為90度，且等邊對(duì)等角，即可證明E是AG的中點(diǎn)；（2）可設(shè)AE=a，則AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可證明△ABE~△DAC , 則 ，因?yàn)锳B=DC，且DA，AE已知表示出來(lái)了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)的n，需要分類討論，一般分三個(gè)，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根據(jù)點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°進(jìn)行分析解答.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等．