Question

如圖，拋物線y=ax²-2ax+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC，過(guò)點(diǎn)C的直線CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段OA運(yùn)動(dòng)，作直線PQ⊥x軸，且交拋物線于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)M，設(shè)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求MQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示），并求當(dāng)t為何值時(shí)，MQ取得最大或最小值；
（3）拋物線在CD上方的部分是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、C、E為頂點(diǎn)的三角形和△APM相似？若存在，求出此時(shí)t的值，并直接判斷△QCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A和C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得a和c的值，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）求得AC的解析式，則利用t表示出Q和M的縱坐標(biāo)，二者的差就是QM的長(zhǎng)，從而求得QM關(guān)于t的函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)求得最值；
（3）△APM是直角三角形，則△QCE一定也是直角三角形，即∠QCM=90°，然后求得CQ的解析式，進(jìn)而求得Q的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)就是t的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

9a-6a+c=0 c=4

，
解得：

a=- 4 3 c=4

，
則函數(shù)的解析式是：y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；
（2）在y=-

4

3

x²+

8

3

x+4中，令x=t，解得：y=-

4

3

t²+

8

3

t+4，
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
則

b=4 3k+b=0

，
解得：

b=4 k=- 4 3

．
則直線的解析式是：y=-

4

3

x+4．
當(dāng)x=t時(shí)，y=-

4

3

t+4，
則QM=-

4

3

t²+

8

3

t+4-（-

4

3

t+4）=-

4

3

t²+4t，（0≤t≤3）．
則當(dāng)t=-

4

- 8 3

=

3

2

時(shí)，QM有最大值是：3；
（3）若以點(diǎn)Q、C、E為頂點(diǎn)的三角形和△APM相似，△APM是直角三角形，則∠QCM=90°，即QC⊥CM．
設(shè)CQ的解析式是y=

3

4

x+c，
把C（0，4）代入得：c=4，則CQ的解析式是y=

3

4

x+4．
根據(jù)題意得：

y= 3 4 x+4 y=- 4 3 x2+ 8 3 x+4

，
解得：

x=0 y=4

或

x= 23 16 y=5 5 64

，
則t=

23

16

．
此時(shí)△QCM是直角三角形，且∠QCM=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及求函數(shù)的最值和相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是基礎(chǔ)．