Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸從左至右交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

若拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的解析式；

在第二象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖，在的條件下，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，在軸上，從左至右有、兩點(diǎn)，且，問(wèn)在軸上移動(dòng)到何處時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小？請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）將T點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中即可求解a值；

（2）觀察圖1可知，∠ACB為鈍角，則△ABD中只有∠DAB為鈍角，故按照三角形相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系得∠DAB與∠ACB相對(duì)應(yīng)，則可分下述兩種對(duì)應(yīng)情況分類(lèi)討論：①△DAB∽△BCA；②△DAB∽△ACB.兩種情況下分別根據(jù)相似列出比例式進(jìn)行求解；

（3）先代入Q點(diǎn)坐標(biāo)求解t值，從而可求解出Q（6,10）.由于四邊形PQNM四邊中，PQ和MN長(zhǎng)度均已固定，因此只需要尋找PM+QN的最小值即可. 作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)作軸，且，連接交軸于，過(guò)作，交軸于，則QG就是PM+QN的最小值.

解：如圖，把代入拋物線得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

當(dāng)時(shí)，，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

，，

∴、，

如圖，過(guò)作軸于，

設(shè)，

∵點(diǎn)在第二象限，為鈍角，

∴分兩種情況：

①如圖，當(dāng)時(shí)，，

∴，即，

∴，

，

則，

解得：或，

∴，

由勾股定理得：，

∵，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

即

，

解得：，此方程無(wú)解；

②當(dāng)時(shí)，如圖，，

∵，，

∴，

∴是等腰直角三角形，

有，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

則，

解得：，

則；

當(dāng)時(shí)，，

∴，

如圖，作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)作軸，且，連接交軸于，過(guò)作，交軸于，

此時(shí)，就是的最小值，由于、為定值，所以此時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，

∵，

∴，

∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，，

∴，

設(shè)的解析式為：，

把和代入得：，

解得：，

∴的解析式為：，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

∵，

∴．