【題目】如圖,AB是⊙O直徑,C是半圓上一點(diǎn),連接BC、AC,過點(diǎn)OODBC與過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D,連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證:DE是⊙O的切線;

(2)若AE=3,CE=,求線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積(結(jié)果保留根號(hào)和π).

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)如圖,連接OC.欲證DE是⊙O的切線,只需證得OCDE;

(2)設(shè)AD=CD=x,RtADE中,由AD2+AE2=DE2求得x的值,從而得出DE=2AD,據(jù)此知∠E=30°、BOC=60°,設(shè)圓的半徑為r,在RtOCE中由OC2+CE2=OE2可得r的值,根據(jù)S=SCOE-S扇形BOC求解可得.

(1)如圖,連接OC,

AD是過點(diǎn)A的切線,AB是⊙O的直徑,

ADAB,

∴∠DAB=90°.

ODBC,

∴∠1=2,3=4.

OC=OB,

∴∠2=4.

∴∠1=3.

CODAOD中,

∴△COD≌△AOD(SAS)

∴∠OCD=DAB=90°,即OCDE于點(diǎn)C.

OC是⊙O的半徑,

DE是⊙O的切線;

(2)設(shè)AD=x,

COD≌△AODCD=AD=x,

RtADE中,由AD2+AE2=DE2可得x2+32=(+x)2,

解得:x=,

AD=、DE=2,

sinE=,

∴∠E=30°,

∵∠ACE=90°,

∴∠COB=60°,

設(shè)圓的半徑為r,

RtOCE中,由OC2+CE2=OE2可得r2+(2=(3﹣r)2,

解得:r=1,

S=SCOE﹣S扇形BOC=

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3)若將AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置,S1S2的關(guān)系發(fā)生變化了嗎?證明你的判斷.

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