Question

【題目】在中，，為高，

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，求的值；（用含的代數(shù)式表示）

（3）在（2）的條件下，若，則　 　．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用已知條件可知△ADC∽△CDB，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例即可解；

（2）要求的值，想辦法把放在兩個(gè)三角形中，只要兩個(gè)三角形相似，找到相似比即可求，但根據(jù)圖2沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這樣的兩個(gè)三角形，所以添加輔助線，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AC，可得△PCE∽△PGF，進(jìn)而利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出答案；

（3）由第二問(wèn)中的結(jié)論，進(jìn)而求出AF,AP的長(zhǎng)，然后再Rt△APF中運(yùn)用勾股定理即可.

解：（1）∵CD⊥AB

∴∠ADC=∠CDB=90°

∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°

∴∠A=∠BCD

∽，

得=，

（2）過(guò)點(diǎn)P作PG∥AC交AB于點(diǎn)G．

∴∠PGF＝∠CAD，∠GPC＝90°，

∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠PCE＝90°，

∴∠PCE＝∠CAD，

∴∠PCE＝∠PGF，

又∵PF⊥AP，

∴∠CPE+∠APG＝∠FPG+∠APG＝90°，

∴∠CPE＝∠GPF，

∴△PCE∽△PGF，

∴，

又∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

∴AC＝2PG，

（3）由（2）設(shè)PF=x,PE=2x

∵PF=BF

∴∠FPB=∠FBP

∵∠GPB=90°

∴∠GPF+∠FPB＝90°∠PGB+∠FBP＝90°,

∴∠FGP=∠FPG

∴PF=BF=GF=x

∴AG=BG=2x

∴AF=AG+GF=3x

∵△PCE∽△PGF

∴

∴CE=PE=nx

∵∠ACB=90°

∴∠ACE+∠ECP＝90°∠CAP+∠EPC＝90°,

∵CE=PE=nx

∴∠ECP=∠EPC

∴∠ACE=∠CAP

∴CE=AE=PE

∴AE=PE=nx

∴AP=AE+PE=2nx

在Rt△APF中，

即

∴