【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,C點(diǎn)在軸上,A點(diǎn)在軸上,D(0,0),B(3,4),矩形ABCD沿直線EF折疊,點(diǎn)B落在AD邊上的G處,E、F分別在BC、AB邊上且F(1,4).
(1)求G點(diǎn)坐標(biāo)
(2)求直線EF解析式
(3)點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上,直線EF上是否存在點(diǎn)M,使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由
【答案】(1)G(0,4-);(2);(3).
【解析】
1(1)由F(1,4),B(3,4),得出AF=1,BF=2,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到GF=BF=2,在Rt△AGF中,利用勾股定理求出 ,那么OG=OA-AG=4-,于是G(0,4-);
(2)先在Rt△AGF中,由 ,得出∠AFG=60°,再由折疊的性質(zhì)得出∠GFE=∠BFE=60°,解Rt△BFE,求出BE=BF tan60°=2,那么CE=4-2,E(3,4-2).設(shè)直線EF的表達(dá)式為y=kx+b,將E(3,4-2),F(1,4)代入,利用待定系數(shù)法即可求出直線EF的解析.(3)因?yàn)?/span>M、N均為動(dòng)點(diǎn),只有F、G已經(jīng)確定,所以可從此入手,結(jié)合圖形,按照FG為一邊,N點(diǎn)在x軸上;FG為一邊,N點(diǎn)在y軸上;FG為對(duì)角線的思路,順序探究可能的平行四邊形的形狀.確定平行四邊形的位置與形狀之后,利用平行四邊形及平移的性質(zhì)求得M點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)∵F(1,4),B(3,4),
∴AF=1,BF=2,
由折疊的性質(zhì)得:GF=BF=2,
在Rt△AGF中,由勾股定理得,
∵B(3,4),
∴OA=4,
∴OG=4-,
∴G(0,4-);
(2)在Rt△AGF中,
∵ ,
∴∠AFG=60°,由折疊的性質(zhì)得知:∠GFE=∠BFE=60°,
在Rt△BFE中,
∵BE=BFtan60°=2,
.CE=4-2,
.E(3,4-2).
設(shè)直線EF的表達(dá)式為y=kx+b,
∵E(3,4-2),F(1,4),
∴ 解得
∴ ;
(3)若以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,則分如下四種情況:
①FG為平行四邊形的一邊,N點(diǎn)在x軸上,GFMN為平行四邊形,如圖1所示.
過點(diǎn)G作EF的平行線,交x軸于點(diǎn)N1,再過點(diǎn)N:作GF的平行線,交EF于點(diǎn)M,得平行四邊形GFM1N1.
∵GN1∥EF,直線EF的解析式為
∴直線GN1的解析式為,
當(dāng)y=0時(shí), .
∵GFM1N1是平行四邊形,且G(0,4-),F(1,4),N1( ,0),
∴M,( ,);
②FG為平行四邊形的一邊,N點(diǎn)在x軸上,GFNM為平行四邊形,如圖2所示.
∵GFN2M2為平行四邊形,
∴GN與FM2互相平分.
∴G(0,4-),N2點(diǎn)縱坐標(biāo)為0
∴GN:中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ,
設(shè)GN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,).
∵GN2中點(diǎn)與FM2中點(diǎn)重合,
∴
∴x=
∵.GN2的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(),
.∴N2點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0).
∵GFN2M2為平行四邊形,且G(0,4-),F(1,4),N2(,0),
∴M2();
③FG為平行四邊形的一邊,N點(diǎn)在y軸上,GFNM為平行四邊形,如圖3所示.
∵GFN3M3為平行四邊形,.
∴GN3與FM3互相平分.
∵G(0,4-),N2點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,
.∴GN3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,
∴F與M3的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),
∴M3的橫坐標(biāo)為-1,
當(dāng)x=-1時(shí),y=,
∴M3(-1,4+2);
④FG為平行四邊形的對(duì)角線,GMFN為平行四邊形,如圖4所示.
過點(diǎn)G作EF的平行線,交x軸于點(diǎn)N4,連結(jié)N4與GF的中點(diǎn)并延長,交EF于點(diǎn)M。,得平行四邊形GM4FN4
∵G(0,4-),F(1,4),
∴FG中點(diǎn)坐標(biāo)為(),
∵M4N4的中點(diǎn)與FG的中點(diǎn)重合,且N4的縱坐標(biāo)為0,
.∴M4的縱坐標(biāo)為8-.
5-45解方程 ,得
∴M4().
綜上所述,直線EF上存在點(diǎn)M,使以M,N,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為: 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年俄羅斯世界杯組委會(huì)對(duì)世界杯比賽用球進(jìn)行抽查,隨機(jī)抽取了100個(gè)足球,檢測(cè)每個(gè)足球的質(zhì)量是否符合標(biāo)準(zhǔn),超過或不足部分分別用正、負(fù)數(shù)來表示,記錄如表:
與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值(單位:克) | ﹣4 | ﹣2 | 0 | 1 | 3 | 6 |
個(gè)數(shù) | 10 | 13 | 30 | 25 | 15 | 7 |
(1)平均每個(gè)足球的質(zhì)量比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量多還是少?用你學(xué)過的方法合理解釋;
(2)若每個(gè)足球標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為420克,則抽樣檢測(cè)的足球的總質(zhì)量是多少克?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)銷售一種西裝和領(lǐng)帶,西裝每套定價(jià)400元,領(lǐng)帶每條定價(jià)50元.國慶節(jié)期間商場(chǎng)決定開展促銷活動(dòng),活動(dòng)期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案, 兩種優(yōu)惠方案可以任意選擇:方案一:買一套西裝送一條領(lǐng)帶;方案二:西裝和領(lǐng)帶都按定價(jià)的90%付款.
現(xiàn)某客戶要到該商場(chǎng)購買西裝20套,領(lǐng)帶x.
(1)若該客戶按方案一購買,需付款 元(用含x的式子表示),
若該客戶按方案二購買,需付款 元(用含x的式子表示)
(2)若,通過計(jì)算說明此時(shí)按哪種方案購買較為合算;
(3)當(dāng)時(shí),你能給出一種更為省錢的購買方法嗎?試寫出你的購買方法和所需費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】撫順某中學(xué)為了解八年級(jí)學(xué)生的體能狀況,從八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試,測(cè)試結(jié)果分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)求測(cè)試結(jié)果為C等級(jí)的學(xué)生數(shù),并補(bǔ)全條形圖;
(3)若該中學(xué)八年級(jí)共有700名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該中學(xué)八年級(jí)學(xué)生中體能測(cè)試結(jié)果為D等級(jí)的學(xué)生有多少名?
(4)若從體能為A等級(jí)的2名男生2名女生中隨機(jī)的抽取2名學(xué)生,做為該校培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)員的重點(diǎn)對(duì)象,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位需以“掛號(hào)信”或“特快專遞”方式向五所學(xué)校各寄一封信,這五封信的重量分別是.根據(jù)這五所學(xué)校的地址及信件的重量范圍,在郵局查得相關(guān)郵費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:
業(yè)務(wù)種類 | 計(jì)費(fèi)單位 | 資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)/元 | 掛號(hào)費(fèi)/(元/封) | 特制信封(元/個(gè)) |
掛號(hào)信 | 首重100g,每重20g | 0.8 | 3 | 0.5 |
續(xù)重101~2000g,每重100g | 2.00 | |||
特制信封 | 首重1000g內(nèi) | 5.00 | 3 | 1.0 |
(1)重量為90g的信若以“掛號(hào)信”方式寄出,郵寄費(fèi)為多少元?若以“特快專遞”方式寄出呢?
(2)這五封信分別以怎樣的方式寄出最合算?請(qǐng)說明理由.
(3)通過解答上述問題,你有何啟示?(請(qǐng)你用一兩句話說明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過點(diǎn)O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長EO交⊙O于F,連接DF、AF,求△ADF的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OE∥AB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得≌ 即可得,則可證得為的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長,又由OE∥AB,證得根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得的長,然后利用三角函數(shù)的知識(shí),求得與的長,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切線;
(2)連接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直徑,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結(jié)束】
25
【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個(gè)公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個(gè)交點(diǎn)記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時(shí),直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G,點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個(gè)單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),試求t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1,l2,l3上,且l1、l2之間的距離為2,l2、l3之間的距離為3,則AC的長是_________;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:如圖1,⊙與直線都相切.不論⊙如何轉(zhuǎn)動(dòng),直線之間的距離始終保持不變(等于⊙的半徑).我們把具有這一特性的圖形稱為“等寬曲線”.圖2是利用圓的這一特性的例子.將等直徑的圓棍放在物體下面,通過圓棍滾動(dòng),用較小的力就可以推動(dòng)物體前進(jìn).據(jù)說,古埃及就是利用只有的方法將巨石推到金字塔頂?shù)?
拓展應(yīng)用:如圖3所示的弧三角形(也稱為萊洛三角形)也是“等寬曲線”.如圖4,夾在平行線之間的萊洛三角形無論怎么滾動(dòng),平行線間的距離始終不變.若直線之間的距離等于,則萊洛三角形的周長為 .
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