Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=-1，與x軸的交點為（x₁，0）、（x₂，0），其中0＜x₁＜1，有下列結(jié)論：
其中，正確的結(jié)論有（　�。�
①abc＞0；②-3＜x₂＜-2；③4a+1＞2b-c；④4ac-b²+4a＜0；⑤a＞

1

3

．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開口方向得a＞0，由拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=-1得b=2a＞0，由拋物線與y軸的交點位置得c＜0，則abc＜0；由于拋物線與x軸一個交點在點（0，0）與點（1，0）之間，根據(jù)拋物線的對稱軸性得到拋物線與x軸另一個交點在點（-3，0）與點（-2，0）之間，即有-3＜x₂＜-2；由于b=2a，c＜-1，則4a+1＜2b-c；由于b=2a，則4ac-b²+4a=4a（a-c+1），再利用x=-1有a-b+c＜0，則a-c＞0，所以4ac-b²+4a=4a（a-c+1）＞0；由于x=1時，函數(shù)為正值，則a+b+c＞0，即a+2a+c＞0，解得a＞-

1

3

c，然后利用c＜-1得到a＞

1

3

．

解答：解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸一個交點在點（0，0）與點（1，0）之間，而對稱軸為直線x=-1，
∴拋物線y=ax²+bx+c與x軸另一個交點在點（-3，0）與點（-2，0）之間，
∴-3＜x₂＜-2，所以②正確；
∵b=2a，c＜-1，
∴4a+1＜2b-c，所以③錯誤；
∵b=2a，
∴4ac-b²+4a=4ac-4a²+4a=4a（a-c+1），
∵x=-1時，y＜0，即a-b+c＜0，
∴a-2a+c＜0，即a-c＞0，
∴4ac-b²+4a=4a（a-c+1）＞0，所以④錯誤；
∵x=1時，y＞0，即a+b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即a＞-

1

3

c，
而c＜-1，
∴a＞

1

3

，所以⑤正確．
故選B．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．