Question

【題目】如圖1，直線與相交于，兩點(diǎn)，是的直徑，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，且平分.

(1)求證：是的切線；

(2)若，，求的半徑；

(3)如圖2，在(2)的條件下，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，問：線段，，之間存在什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)的半徑為；(3).

【解析】

（1）由OA=OD得∠OAD=∠ODA，由AD平分∠CAM得∠OAD=∠DAE，則∠ODA=∠DAE，所以DO∥AB，利用DE⊥AB得到DE⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）連結(jié)DC，先利用勾股定理計(jì)算出AD長(zhǎng)，由AC是⊙O直徑得到∠ADC=90°，易證得△ACD∽△ADE，利用相似比可計(jì)算出AC，即可得到圓的半徑；

（3）可得結(jié)論PC=PD+PB，連接PB、DB，在CP上截取PB=PF，連接BF、BC，可證△PBF為等邊三角形，再證△PBD≌△FBC，即可得結(jié)論．

解：(1)連結(jié)，如圖，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴.

∴，

∵，

∴，

∴是的切線；

(2)∵，，.

∴，

連結(jié)，

∵是的直徑，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

解得.

∴的半徑為.

(3).

理由：連接、，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵四邊形內(nèi)接于，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，

∴.