Question

把矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AB上的C′處（不與A、B重合），點(diǎn)D落在D′處，此時，C′D′交AD于E，折痕為MN．
（1）如果AB=1，BC=

4

3

，當(dāng)點(diǎn)C′在什么位置時，可使△NBC′≌△C′AE？
（2）如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′還存在嗎？若存在，請求出C′的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）設(shè)BC′=x時，△NBC′≌△C′AE，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BN=AC′=1-x，于是NC=BC-BN=

1

3

+x，再由折疊的性質(zhì)得到NC′=NC=

1

3

+x，然后在Rt△BNC′中利用勾股定理列出方程（

1

3

+x）²=x²+（1-x）²，解方程即可；
（2）設(shè)BC′=x時，△NBC′≌△C′AE，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BN=AC′=AB-BC′=1-x，驗(yàn)算NC=BC-BN=x，再由折疊的性質(zhì)得到NC′=NC=x，然后在Rt△BNC′中根據(jù)斜邊最長得出NC′＞BC′，這與NC′=BC′=x矛盾，于是得出結(jié)論：如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．

解答：解：（1）設(shè)BC′=x時，△NBC′≌△C′AE，則BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=

4

3

-（1-x）=

1

3

+x．
∵把矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AB上的C′處，折痕為MN，
∴NC′=NC=

1

3

+x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′²=BC′²+BN²，
∴（

1

3

+x）²=x²+（1-x）²，
解得x=

4±2 2

3

，
∵

4+2 2

3

＞2＞AB，
∴x=

4+2 2

3

不合題意舍去，
∴x=

4-2 2

3

，
即當(dāng)點(diǎn)C′在AB上距離點(diǎn)B

4-2 2

3

個單位時，可使△NBC′≌△C′AE；

（2）如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．理由如下：
設(shè)BC′=x時，△NBC′≌△C′AE，則BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=1-（1-x）=x．
∵把矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AB上的C′處，折痕為MN，
∴NC′=NC=x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′＞BC′，
而NC′=BC′=x，
∴如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．

點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．同時考查了直角三角形的性質(zhì)及一元二次方程的解法．