Question

【題目】如圖，矩形ABCD中AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從D以1cm/秒的速度移動(dòng)，若P、Q同時(shí)出發(fā)，用t表示移動(dòng)時(shí)間（0≤t≤6），求當(dāng)t何值時(shí)，△APQ與△ABC相似？

Answer 1

【答案】解：由題意得：AP=2tcm，DQ=tcm，則AQ=（6﹣t）cm， ∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
若△APQ與△ABC相似，則△APQ與△ABD相似；
分兩種情況：
① 當(dāng) 時(shí)，
即 ，
解得：t=3；
②當(dāng) 時(shí)，
即 ，
解得：t= ．
綜上所述：當(dāng)t=3或t= 時(shí)，△APQ與△ABC相似
【解析】由矩形的性質(zhì)和SAS證出△ABD≌△BAC，若△APQ與△ABC相似，則△APQ與△ABD相似；分兩種情況：①當(dāng) 時(shí)；②當(dāng) 時(shí)；分別得出t的方程，解方程即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等，以及對(duì)相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）．