Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的⊙O交AB 于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，EB為⊙O的直徑．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BC=2，cos∠ABC=

1

3

時，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的判定定理，垂直經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線，連接OD，只要得出OD⊥AC即可得出；
（2）通過解直角三角形求得AB，然后證明△AOD∽△ABC，利用相似的性質(zhì)得對應(yīng)邊的比值相等，即可求得⊙O的半徑．

解答：（1）證明：如圖，連結(jié)OD．
∴OD=OB．
∴∠1=∠2．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．       
∴OD∥BC．
∴∠ADO=∠C=90°．
∴OD⊥AC．
∵OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線． 
（2）解：在Rt△ACB中，∠C=90，BC=2，cos∠ABC=

1

3

，
∴AB=

BC

cos∠ABC

=6．      
設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=6-r．
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC．
∴

OD

BC

=

AO

AB

．
∴

r

2

=

6-r

6

．
解得 r=

3

2

．
∴⊙O的半徑為

3

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的判定定理與相似三角形的判定和性質(zhì)定理，此定理是初中階段非常重要的定理，同學(xué)們應(yīng)正確把握此定理．