Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+ x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意 ，

解得 ，

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：存在．如圖1中，

∵C（0，2），D（ ，0），

∴CD= = ，

當(dāng)CP=CD時(shí)，P1（ ，4），

當(dāng)DP=DC時(shí)，P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（ ，4）或（ ， ）或（ ，﹣

（3）

解：如圖2中，作CM⊥EF于M，

∵B（4，0），C（0，2），

∴直線BC的解析式為y=﹣ ，設(shè)E（a，﹣ +2），F(xiàn)（a，﹣ a2+ a+2），

∴EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ +2）=﹣ a2+2a，（0≤a≤4），

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BDOC+ EFCM+ EFBN

= + a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a）

=﹣a2+4a+

=﹣（a﹣2）2+ ，

∴a=2時(shí)，四邊形CDBF的面積最大，最大值為 ，

∴E（2，1）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組即可．（2）如圖1中，分兩種情形討論①當(dāng)CP=CD時(shí)，②當(dāng)DP=DC時(shí)，分別求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．（3）如圖2中，作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，﹣ +2），F(xiàn)（a，﹣ a2+ a+2），則EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ +2）=﹣ a2+2a，（0≤a≤4），根據(jù)S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BDOC+ EFCM+ EFBN，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．