Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，使MA+MC的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC的面積最大，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PBC的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）代入y=ax²+bx+c，即可得出拋物線的解析式，
（2）點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，要使MA+MC的值最小，則點(diǎn)M就是BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，把B（5，0），C（0，-

5

2

）代入y=kx+b，求出直線BC的解析式，把拋物線對(duì)稱軸x=2代入即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，
（3）過點(diǎn)P作l∥BC，交y軸于Q點(diǎn)，當(dāng)l與拋物線只有唯一的公共點(diǎn)P時(shí)，△PBC的面積最大，聯(lián)立方程利用△可求出設(shè)此時(shí)l的解析式，可求出點(diǎn)P的作坐標(biāo)，作CN⊥l，利用

CN

CQ

=

OB

BC

求出CN，即可得出△PBC的面積．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）代入解析式，
得

0=a-b+c 0=25a+5b+c - 5 2 =c

，解得

a= 1 2 b=-2 c=- 5 2

，
所以拋物線的解析式為y=

1

2

x²-2x-

5

2

．
（2）如圖1，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，要使MA+MC的值最小，
則點(diǎn)M就是BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，

∵拋物線的解析式為y=

1

2

x²-2x-

5

2

．
∴拋物線對(duì)稱軸x=2，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（5，0），C（0，-

5

2

）代入得

0=5k+b - 5 2 =b

，解得

k= 1 2 b=- 5 2

．
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，
∵M(jìn)的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-

3

2

），
（3）過點(diǎn)P作l∥BC，交y軸于Q點(diǎn)，如圖2，

∵當(dāng)l與拋物線只有唯一的公共點(diǎn)P時(shí)，△PBC的面積最大，設(shè)此時(shí)l的解析式為y=

1

2

x+n，
∴方程有唯一一組解，即

1

2

x²-2x-

5

2

=

1

2

x+n有相等的實(shí)數(shù)解，
整理得x²-5x-5-2n=0，△=5²-4（-5-2n）=0，解得n=-

45

8

，y=

1

2

x-

45

8

，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，-

35

8

），
∵Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

45

8

），
作CN⊥l，CQ=OQ-OC=

45

8

-

5

2

=

25

8

，
∵

CN

CQ

=

OB

BC

=

5

52+( 5 2 )2

=

2 5

5

，
∴CN=

2 5

5

•

25

8

=

5 5

4

，
∴△PBC的面積=

1

2

BC•CN=

1

2

×

5 5

2

×

5 5

4

=

125

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)求解．