Question

拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1，已知：A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面積的比；
（3）在對稱軸是否存在一個點P，使△PAC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A，B兩點關(guān)于x=1對稱，
∴B點坐標(biāo)為（3，0），
根據(jù)題意得：，
解得a=1，b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）△AOC和△BOC的面積分別為S_△AOC=|OA|•|OC|，S_△BOC=|OB|•|OC|，
而|OA|=1，|OB|=3，
∴S_△AOC：S_△BOC=|OA|：|OB|=1：3．

（3）存在一個點P．C點關(guān)于x=1對稱點坐標(biāo)C'為（2，-3），
令直線AC'的解析式為y=kx+b
∴，
∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式為y=-x-1．
為x=1時，y=-2，
∴P點坐標(biāo)為（1，-2）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸即可得出點B的坐標(biāo)，然后將A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式．
（2）由于兩三角形等高，那么面積比就等于底邊的比，據(jù)此求解即可．
（3）本題的關(guān)鍵是確定P點的位置，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點間線段最短，可找出C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，然后連接此點和A，那么這條直線與拋物線對稱軸的交點就是所求的P點．可先求出這條直線的解析式然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解析式即可求得P點坐標(biāo)．
點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點等知識點．
解題的關(guān)鍵是根據(jù)所學(xué)的知識確定點P的位置是解題的關(guān)鍵．