Question

在△ABC中，∠A=60°，AC=8

3

，AB=4

3

+9，⊙O與邊AB、AC相切于E、F，若⊙O在變化過程中都是落在△ABC內(nèi)（含相切時），則線段AE的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)題意判斷出當(dāng)⊙O與△ABC的三邊均相切時，線段AE的長度最大；運(yùn)用余弦定理求出BC的長度；
利用切線的性質(zhì)定理列出方程組；解關(guān)于x、y、z的方程組即可解決問題．

解答：解：如圖，

當(dāng)⊙O與邊AB、AC、BC分別相切于E、F、D三點(diǎn)時，
線段AE的長最大；
由切線的性質(zhì)定理得：
AE=AF（設(shè)為x），BD=BE（設(shè)為y），CD=CF（設(shè)為z），
∴x+y=4

3

+9  ①，x+z=8

3

  ②；
由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠A
=(4

3

+9)2+(8

3

)2-2(4

3

+9)×8

3

×

1

2

=48+72

3

+81+64×3-32×3-72

3

=225，
∴BC=15；
∴y+z=15   ③；
聯(lián)立①、②、③得：

x+y=4 3 +9① x+z=8 3 ② y+z=15③

；
由①+②+③得：x+y+z=6

3

+12 ④，
由④-③得：x=6

3

-3，
∴線段AE的最大值為6

3

-3，
故答案為：6

3

-3．

點(diǎn)評：該題主要考查了切線的性質(zhì)定理及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是：運(yùn)用余弦定理求出BC的長度，運(yùn)用切線的性質(zhì)定理列出關(guān)于AE的方程組，解方程組．