Question

【題目】已知點(diǎn)P是直線上一定點(diǎn)，點(diǎn)A是x軸上一動(dòng)點(diǎn)不與原點(diǎn)重合，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作，交y軸于點(diǎn)B，探究線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系．

1如圖，當(dāng)軸時(shí)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系是______；

2當(dāng)PA與x軸不垂直時(shí)，在圖中畫出圖形，線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系是否與Ⅰ所得結(jié)果相同？寫出你的猜想并加以證明；

3 為何值時(shí)，線段？此時(shí)的度數(shù)是多少，為什么？

Answer 1

【答案】(1) PA=kPB;(2)相同，PA=kPB，證明見(jiàn)解析；（3）當(dāng)k=1時(shí)，PA=PB，此時(shí)∠POA=45°或∠POA=135°．

【解析】試題分析：（1）由PA⊥x軸，PB⊥PA，OB⊥OA，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（PB，P A），又由點(diǎn)P是直線y=kx（k＞0）上一定點(diǎn)，即可得PA=kPB；

（2）首先過(guò)P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，設(shè)P（x，kx），易證得Rt△APC∽R(shí)t△BPD，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易證得PA=kPB；

（3）由（2）得：PA=kPB，當(dāng)k=1時(shí)，PA=PB，可證得Rt△APC≌Rt△BPD，則可得PC=PD，即可得直線y=kx（k=1）平分一、三象限的夾角，繼而求得∠POA的度數(shù)．

試題解析：（1）∵PA⊥x軸，PB⊥PA，OB⊥OA，

∴PB∥x軸，PA∥y軸，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（PB，PA），

∵點(diǎn)P是直線y=kx（k＞0）上一定點(diǎn)，

∴PA=kPB，

故答案為：PA=kPB；

（2）PA=kPB，證明如下：

如圖2，過(guò)P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，

則∠PDB=∠PCA=90°，

設(shè)P（x0，kx0），

∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，

∴∠APC=∠BPD．

∴Rt△APC∽R(shí)t△BPD，

∴,

∴=k，

∴PA=kPB；

（3）當(dāng)k=1時(shí)，PA=PB，此時(shí)∠POA=45°或∠POA=135°．

理由：由（2）得：PA=kPB，

則當(dāng)k=1時(shí)，PA=PB．

∵Rt△APC∽R(shí)t△BPD，

∴Rt△APC≌Rt△BPD，

∴PC=PD，

即點(diǎn)P到x軸、y軸的距離相等，

∴直線y=kx（k=1）平分一、三象限的夾角，

∴∠POA=45°或∠POA=135°（如圖3）．