【題目】如圖,拋物線y=ax2-(2a+1)x+b的圖象經(jīng)過(2,-1)和(-2,7)且與直線y=kx-2k-3相交于點P(m,2m-7)

(1) 求拋物線的解析式

(2) 求直線y=kx-2k-3與拋物線y=ax2-(2a+1)x+b的對稱軸的交點Q的坐標(biāo)

(3) 在y軸上是否存在點T,使△PQT的一邊中線等于該邊的一半?若存在,求出點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由

【答案】見解析

【解析】分析:(1)根據(jù)拋物線y=ax2﹣(2a+1)x+b的圖象經(jīng)過(2,﹣1)和(﹣2,7),求得a,b的值即可得到拋物線的解析式;

(2)先根據(jù)拋物線的圖象經(jīng)過點P(m,2m﹣7),求得點P的坐標(biāo),再根據(jù)直線y=kx﹣2k﹣3經(jīng)過點P,求得k的值,最后根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=2,求得點Q的坐標(biāo);

(3)設(shè)點T的坐標(biāo)為(0,t),M為PQ的中點,連結(jié)TM,分三種情況討論:∠PTQ=90°時,∠PQT=90°時,∠QPT=90°時,分別根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程進行求解即可.

詳解:(1)∵拋物線y=ax2﹣(2a+1)x+b的圖象經(jīng)過(2,﹣1)和(﹣2,7),

,

解得

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1;

(2) ∵拋物線的圖象經(jīng)過點P(m,2m-7)

∴2m-7=m2-2m+1,解得m1=m2=4

∴P(4,1)

∵直線y=kx-2k-3經(jīng)過點P

∴4k-2k-3=1,k=2

∴直線PQ的解析式為y=2x-7

∴拋物線的對稱軸為直線x=2

當(dāng)x=2時,y=2×2-7=-3

∴Q(2,-3)

(3) 若△PQT的一邊中線等于該邊的一半

則△PQT為直角三角形

設(shè)T(0,t)

過點P作PA⊥y軸于A,交直線x=2于點C,過點Q作QB⊥y軸于B

則AT=|1-t|,BT=|-3-t|

∵PA=4,QB=2,PC=2,CQ=4

∴PQ=

① 當(dāng)∠PTQ=90°時

∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2=(-3-t)2+22+(1-t)2+42=20

∴2t2+4t+10=0,方程無解

② 當(dāng)∠PQT=90°時,PQ2+QT2=PT2

∴20+22+(-3-t)2=42+(1-t)2,解得t=-2

③ 當(dāng)∠QPT=90°時,TQ=PT+PQ

∴4+(-3-t)2=16+(1-t)2+20,解得t=3.

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