Question

【題目】四邊形ABCD中，點E在邊AB上，連結DE，CE．

（1）若∠A=∠B=∠DEC=50°，找出圖中的相似三角形，并說明理由；

（2）若四邊形ABCD為矩形，AB=5，BC=2，且圖中的三個三角形都相似，求AE的長．

（3）若∠A=∠B=90°，AD＜BC，圖中的三個三角形都相似，請判斷AE和BE的數(shù)量關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△DAE∽△EBC，理由見解析；（2）AE=1或4；（3）AE=BE或BE=2AE，理由見解析.

【解析】

（1）三角形內(nèi)角和為180°，所以∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°，又因為∠DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°，所以∠ADE=∠CEB，已知∠A=∠B，所以△DAE∽△EBC；

（2）設AE=x，則BE=5﹣x，不難證明△DAE∽△EBC，根據(jù)相似三角形的性質列方程求出x即可；（3）分兩類進行討論：①∠A=∠B=∠DEC=90°，②∠DEC≠90°，結合相似三角形的性質分別求出AE和BE的數(shù)量關系．

（1）△DAE∽△EBC，

理由：∵∠A=∠DEC=50°，

∴∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°，∠DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°，

∴∠ADE=∠CEB，

∵∠A=∠B，

∴△DAE∽△EBC；

（2）

設AE=x，則BE=5﹣x，

∵矩形ABCD，

∴∠A=∠B=∠ADC=∠BCD=90°，

∵圖中三個三角形都相似，

∴△DEC為直角三角形，

∵∠EDC＜90°，∠ECD＜90°，

∴∠DEC=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∵AED+∠CEB=90°，

∴∠AED=∠ECB，

∴△DAE∽△EBC，

∴=，即=，

解得：x=1或4，

即AE=1或4；

（3）AE=BE或BE=2AE，

理由：①

當∠A=∠B=∠DEC=90°時，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE=∠BCE，

所以△DEC∽△DAE∽△EBC，

∴=，==，

∴=，即BE=AE；

②當∠DEC≠90°時，

如圖，∵AD＜BC，

∴∠CDE=90°，

∵∠DCE≠∠CEB，

∴∠DCE=∠ECB，∠DEC=∠CEB，

∴DE=BE，

∵∠ADE≠∠DEC，

∴∠ADE=∠DCE，∠AED=∠DEC，

∴∠AED=∠DEC=∠CEB=60°，

∴==cos60°=，

∴BE=2AE．