Question

復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx²-（4k+1）x-k+1（k是實(shí)數(shù)）．
教師：請(qǐng)獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論（性質(zhì)）寫到黑板上．
學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論．教師作為活動(dòng)一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選出以下四條：
①存在函數(shù)，其圖象經(jīng)過（1，0）點(diǎn)；
②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn)；
③當(dāng)x＞1時(shí)，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減��；
④若函數(shù)有最大值，則最大值必為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值必為負(fù)數(shù)．
教師：請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由．最后簡單寫出解決問題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,分類討論

分析：①將（1，0）點(diǎn)代入函數(shù)，解出k的值即可作出判斷；
②首先考慮，函數(shù)為一次函數(shù)的情況，從而可判斷為假；
③根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷；
④當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，無最大之和最小值，當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為拋物線，求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，即可作出判斷．

解答：解：①真；將（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，
解得：k=0．
運(yùn)用方程思想；

②假；反例：k=0時(shí)，只有兩個(gè)交點(diǎn)．運(yùn)用舉反例的方法；

③假；如k=1，-

b

2a

=

5

4

，當(dāng)x＞1時(shí)，先減后增；運(yùn)用舉反例的方法；

④真；當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)無最大、最小值；
k≠0時(shí)，y_最=

4ac-b2

4a

=-

24k2+1

8k

，
∴當(dāng)k＞0時(shí)，有最小值，最小值為負(fù)；
當(dāng)k＜0時(shí)，有最大值，最大值為正．運(yùn)用分類討論思想．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，立意新穎，結(jié)合考察了數(shù)學(xué)解題過程中經(jīng)常用到的幾種解題方法，同學(xué)們注意思考、理解，難度一般．