【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),BF⊥AE交CD于點(diǎn)F,垂足為點(diǎn)G,連接CG,下列說法:①AG>GE;②AE=BF;③點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π;④CG的最小值 ﹣1.其中正確的說法有( )個(gè).
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】C
【解析】解答】∵四邊形ABCD為正方形,BF⊥AE,
∴∠AGB=90°,
∴G點(diǎn)在以AB為直徑,AB中點(diǎn)O為圓心的圓弧上,
∴當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到與C重合時(shí),F(xiàn)點(diǎn)與D點(diǎn)重合,此時(shí)G為AC中點(diǎn),
∴AG=GE,
故①錯(cuò)誤.
∵當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止,
∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡為圓,
又∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,
∴圓弧的長(zhǎng)為:×2××1=.
故③錯(cuò)誤.
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,
又∵BF⊥AE,
∴∠AGB=90°,
即∠ABG+∠GBE=90°,
∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠GBE=∠BAG,
在△ABE和△BCF中,
∵,
∴△ABE≌△BCF,
∴AE=BF,
故②正確.
當(dāng)O、G、C三點(diǎn)共線時(shí),CG取得最小,
∵OB=1,BC=2,
∴OC==,
∴CG=OC-OG=-1,
故④正確.
所以答案是:C.
①由題意得∠AGB=90°,G點(diǎn)在以AB為直徑,AB中點(diǎn)O為圓心的圓弧上;故當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí),F(xiàn)點(diǎn)與D點(diǎn)重合,此時(shí)G為AC中點(diǎn),故①錯(cuò)誤.
②由正方形的性質(zhì)得出,AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,再由同角的余角相等得出∠GBE=∠BAG,再利用ASA得出△ABE≌△BCF,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出AE=BF,故②正確.
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止,此時(shí)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡為圓,從而得出②錯(cuò)誤.
④當(dāng)O、G、C三點(diǎn)共線時(shí),CG取得最小,根據(jù)勾股定理得出OC的長(zhǎng)度,再由CG=OC-OG得出④正確.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用勾股定理的概念和正方形的性質(zhì),掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題.
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B.面積為常數(shù)S時(shí)矩形的長(zhǎng)y與寬x
C.路程是常數(shù)時(shí),行駛的速度v與時(shí)間t
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A.
B.
C.
D.
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