Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC于點D．點P在邊AB上運動，過點P作PE∥BC，與邊AC交于點E，連接ED，以PE、ED為鄰邊作平行四邊形PEDF．設(shè)線段AP的長為x（0＜x＜6）．

（1）求線段PE的長．（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)四邊形PEDF為菱形時，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

又∵△ABC是等邊三角形，

∴△APE是等邊三角形，

∴PE=AP=x（0＜x＜6）；

（2）解：∵四邊形PEDF為菱形，

∴PE=DE=x，

又∵△APE是等邊三角形，則AE=PE，

∴AE=DE，

∴∠DAC=∠ADE，

又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC，

∴DE=EC=AE= AC= AB=3，

即x=3．

【解析】（1）由PE與BC平行，得到三角形APE與三角形ABC相似，根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，得到三角形APE為等邊三角形，可得出PE=AP=x；（2）若四邊形PEDF為菱形，得到PE=DE=x，由三角形APE為等邊三角形得到AE=PE，可得出AE=DE，利用等邊對等角得到∠DAC=∠ADE，利用等式的性質(zhì)得到∠EDC=∠C，利用等角對等邊得到DE=EC，即可求出x的值；
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對菱形的性質(zhì)的理解，了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．