Question

操作實(shí)驗(yàn)：

如圖，把等腰三角形沿頂角平分線對折并展開，發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個(gè)三角形成軸對稱．

所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．

歸納結(jié)論：如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等．

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

思考驗(yàn)證：

如圖（4），在△ABC中，AB=AC．

試說明∠B=∠C的理由．（添加輔助線說明）

探究應(yīng)用：

如圖（5），CB⊥AB，垂足為B，DA⊥AB，垂足為A．E為AB的中點(diǎn)，AB=BC，CE⊥BD于F，連接DC、DE、AC，AC與 DE交于點(diǎn)O．

（1）BE與AD是否相等？為什么？

（2）小明認(rèn)為AC垂直平分線段DE，你認(rèn)為對嗎？說說你的理由。

（3）∠DBC與∠DCB相等嗎？試說明理由．

 

Answer 1

【答案】

思考驗(yàn)證：理由見解析，探究應(yīng)用（1）相等，理由見解析（2）對，理由見解析（3）相等，理由見解析

【解析】思考驗(yàn)證：說明：過A點(diǎn)作AD⊥BC于D

∴∠ADB＝∠ADC＝90°

 在Rt△ABD和Rt△ACD中，

 

∴△ABD≌△ACD（HL）       

∴∠B＝∠C 

注意：本小題也可以作其它輔助線，  …………  3分

探究應(yīng)用（令∠ABD＝∠1，∠DBC＝∠2）

（1）說明：∵CB⊥AB

           ∴∠CBA＝90°

            ∴∠1+∠2＝90°

            ∵DA⊥AB

            ∴∠DAB＝90°

            ∴∠ADB+∠1＝90°

            ∴∠ADB＝∠2

         在△ADB和△BEC中

∴△DAB≌△EBC（ASA）

∴DA＝BE                                …………6分

（2）∵E是AB中點(diǎn)

∴AE＝BE

∵AD＝BE

∴AE＝AD

在△ABC中，

∵AB＝BC

∴∠BAC＝∠BCA

∵AD∥BC

∴∠DAC＝∠BCA

∴∠BAC＝∠DAC

 在△ADO和△AEO中，

 

∴△ADO≌△AEO（SAS）

∴OD＝OE  ∠AOD＝∠AOE=90º

∴AC垂直平分DE．                      …………9分 

(3)              .........10分

∴CD=CE

∵△DAB≌△EBC

∴DB=CE

∴CD=BD

∴∠DBC=∠DCB                    …………12分

思考驗(yàn)證：作等腰三角形底邊上的高，構(gòu)造全等三角形．

（1）BE與AD在兩個(gè)直角三角形中，證這兩個(gè)直角三角形全等即可；

（2）可證點(diǎn)A，C在線段DE的垂直平分線上．注意結(jié)合（1）的結(jié)論，利用全等證明即可；

（3）由第二問的垂直平分線的性質(zhì)，得到CD=CE，由第一問的全等得到DB=CE，那么CD=BD，所以∠DBC=∠DCB．