Question

如圖，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=

1

3

，三點A、D、E 的坐標(biāo)分別為A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標(biāo)；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知A、D、E三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式，進而能得到頂點B的坐標(biāo)．
（2）過B作BM⊥y軸于M，由A、B、E三點坐標(biāo)，可判斷出△BME、△AOE都為等腰直角三角形，易證得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圓的直徑，因此只需證明AB與CB垂直即可．BE、AE長易得，能求出tan∠BAE的值，結(jié)合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此證得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此題得證．
（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=

1

3

，即AE=3BE，若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，那么該三角形必須滿足兩個條件：①有一個角是直角、②兩直角邊滿足1：3的比例關(guān)系；然后分情況進行求解即可．

解答：（1）解：由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a（x-3）（x+1）．
將E（0，3）代入上式，解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3．
則點B（1，4）．

（2）證明：如圖1，過點B作BM⊥y于點M，則M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE=

OA2+OE2

=3

2

在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=

EM2+BM2

=

2

∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圓的直徑．
在Rt△ABE中，tan∠BAE=

BE

AE

=

1

3

=tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圓的切線．

（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=

1

3

，sin∠BAE=

10

10

，cos∠BAE=

3 10

10

；
若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形；
①DE為斜邊時，P₁在x軸上，此時P₁與O重合；
由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO=

1

3

=tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE
滿足△DEO∽△BAE的條件，因此 O點是符合條件的P₁點，坐標(biāo)為（0，0）．
②DE為短直角邊時，P₂在x軸上；
若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=

10

10

；
而DE=

12+32

=

10

，則DP₂=DE÷sin∠DP₂E=

10

÷

10

10

=10，OP₂=DP₂-OD=9
即：P₂（9，0）；
③DE為長直角邊時，點P₃在y軸上；
若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=

3 10

10

；
則EP₃=DE÷cos∠DEP₃=

10

÷

3 10

10

=

10

3

，OP₃=EP₃-OE=

1

3

；
綜上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，-

1

3

）．

點評：該題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、切線的判定、相似三角形的判定、圖形面積的解法等重點知識，綜合性強，難度系數(shù)較大．此題的難點在于第三小題，它需要分情況進行討論，容易出現(xiàn)漏解的情況．在解答動點類的函數(shù)問題時，一定不要遺漏對應(yīng)的自變量取值范圍．