【題目】定義符號min{a,b}的含義為:當a≥b時,min{a,b}=b;當a<b時,min{a,b}=a.如:min{1,﹣2}=﹣2,min{﹣1,2}=﹣1.
(1)求min{x2﹣1,﹣2};
(2)已知min{x2﹣2x+k,﹣3}=﹣3,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)已知當﹣2≤x≤3時,min{x2﹣2x﹣15,m(x+1)}=x2﹣2x﹣15.直接寫出實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵x2≥0,
∴x2﹣1≥﹣1,
∴x2﹣1>﹣2.
∴min{x2﹣1,﹣2}=﹣2,
(2)解:∵x2﹣2x+k=(x﹣1)2+k﹣1,
∴(x﹣1)2+k﹣1≥k﹣1.
∵min{x2﹣2x+k,﹣3}=﹣3,
∴k﹣1≥﹣3.
∴k≥﹣2,
(3)解:對于y=x2﹣2x﹣15,當x=﹣2時,y=﹣7,
當x=3時,y=﹣12,
由題意可知拋物線y=x2﹣2x﹣15與直線y=m(x+1)的交點坐標為(﹣2,﹣7),(3,﹣12),
所以m的范圍是:﹣3≤m≤7.
【解析】(1)根據(jù)平方的非負性得出x2≥0,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)1得出x2﹣1≥﹣1,從而判斷出x2﹣1>﹣2,根據(jù)新定義得出結(jié)論;
(2)將代數(shù)式x2﹣2x+k配方變形成(x﹣1)2+k﹣1,根據(jù)平方的非負性得出(x﹣1)20,進而得出(x﹣1)2+k﹣1≥k﹣1,再根據(jù)min{x2﹣2x+k,﹣3}=﹣3,從而得出不等式k﹣1≥﹣3,解不等式即可;
(3)把兩個界點x=-2與x=3分別代入函數(shù)y=x2﹣2x﹣15得出對應的函數(shù)值,從而知當﹣2≤x≤3時,min{x2﹣2x﹣15,m(x+1)}=x2﹣2x﹣15時,拋物線y=x2﹣2x﹣15與直線y=m(x+1)的交點坐標為(﹣2,﹣7),(3,﹣12),從而得出m的取值范圍。
【考點精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和一元一次不等式的解法的相關知識點,需要掌握一般地,一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì):(1)當k>0時,y隨x的增大而增大(2)當k<0時,y隨x的增大而減。徊襟E:①去分母;②去括號;③移項;④合并同類項; ⑤系數(shù)化為1(特別要注意不等號方向改變的問題)才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,點C在線段AB上,(點C不與A、B重合),分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE、BD交于點P.
(觀察猜想)
①AE與BD的數(shù)量關系是 ;
②∠APD的度數(shù)為 .
(數(shù)學思考)
如圖2,當點C在線段AB外時,(1)中的結(jié)論①、②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明;
(拓展應用)
如圖3,點E為四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足∠AED=∠BEC=90°,AE=DE,BE=CE,對角線AC、BD交于點P,AC=10,則四邊形ABCD的面積為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】完成推理過程
(1)如圖,已知∠1=∠2,∠B=∠C,求證:AB∥CD.
證明∵∠1=∠2(已知),
且∠1=∠CGD( )
∴∠2=∠CGD( ),
∴CE∥BF( ),
∴∠C=∠BFD( )
又∵∠B=∠C(已知),
∴∠BFD=∠B( ),
∴AB∥CD( )
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB= ,D是線段BC上的一個動點,以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F,連接EF,則線段EF長度的最小值為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B兩地被池塘隔開,小明通過下列方法測出了A、B間的距離:先在AB外選一點C,然后測出AC,BC的中點M,N,并測量出MN的長為6 m,由此他就知道了A、B間的距離.有關他這次探究活動的描述錯誤的是
A. AB=12 m B. MN∥AB
C. △CMN∽△CAB D. CM∶MA=1∶2
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】拋物線y=3x2 , y=-3x2 , y= x2+3共有的性質(zhì)是( )
A.開口向上
B.對稱軸是y軸
C.都有最高點
D.y隨x值的增大而增大
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖在Rt△ABC中,∠C=90°,點D是AC的中點,且∠A+∠CDB=90°,過點A、D作⊙O,使圓心O在AB上,⊙O與AB交于點E.
(1)求證:直線BD與⊙O相切;
(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙O的直徑.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,銅亭廣場裝有智能路燈,路燈設備由燈柱AC與支架BD共同組成(點C處裝有安全監(jiān)控,點D處裝有照明燈),燈柱AC為6米,支架BD為2米,支點B到A的距離為4米,AC與地面垂直,∠CBD=60°.某一時刻,太陽光與地面的夾角為45°,求此刻路燈設備在地面上的影長為多少?
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