Question

對于x＞0，規(guī)定f（x）=

x

x+1

，例如f（2）=

2

2+1

=

2

3

，f（

1

2

）=

1 2

1 2 +1

=

1

3

，那么f（

1

2011

）+f（

1

2010

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=

2010.5

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（2）=

2

2+1

=

2

3

可知f（x）=

x

x+1

，根據(jù)f（

1

2

）=

1 2

1 2 +1

=

1

3

可知f（

1

x

）=

1

x+1

，以此類推可分別求f（

1

2011

）、f（

1

2010

）、…、f（

1

3

）、f（

1

2

）、f（1）、f（2）、…f（2011）的值，再把結(jié)果相加，又發(fā)現(xiàn)除

1

2

外，其它的數(shù)能兩兩組成1，據(jù)此可知有

2012-3+1

2

個1，進而可求出答案．

解答：解：原式=

1

2012

+

1

2011

+…+

1

3

+

1

2

+

2

3

+…+

2011

2012

=1×2010+

1

2

=2010.5．
故答案是2010.5．

點評：本題考查了分式的混合運算，解題的關鍵是尋找規(guī)律，比如：根據(jù)f（x）=

x

x+1

來計算正整數(shù)時的值；根據(jù)知f（

1

x

）=

1

x+1

來計算分數(shù)時的值，再根據(jù)結(jié)果可發(fā)現(xiàn)以

1

2

為對稱中心的兩個數(shù)相加等于1．