Question

已知：AC為菱形ABCD的對角線，過C作EC⊥AC，交AB延長線于E．
（1）求證：CD=

1

2

AE；
（2）若四邊形ADCE為等腰梯形，AC=

6

，求四邊形ADCE的面積．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)得出EC∥BF，再利用平行線分線段成比例定理得出AB=BE，則AB=BE=CD進而得出答案；
（2）利用等腰梯形以及菱形的性質(zhì)得出CE=

1

2

AE，進而利用勾股定理得出CM的長，再利用梯形面積求法得出即可．

解答：（1）證明：連接BD，
∵AC、BD為菱形ABCD的對角線，
∴AC⊥BD，AF=CF，AB=BC，
∵EC⊥AC，
∴EC∥BF，
∴AB=BE，
∴AB=BE=CD，
∴CD=

1

2

AE；

（2）解：過點C作CM⊥AE于點M，
∵四邊形ADCE為等腰梯形，
∴AD=EC，
∵CD=

1

2

AE，CE=AD=CD，
∴CE=

1

2

AE，
設(shè)CE=x，則AE=2x，
∵AC=

6

，
∴x²+（

6

）²=（2x）²，
解得：x=±

2

（負數(shù)舍去），
∴CM×AE=AC×EC，
∴2

2

CM=

6

×

2

，
解得：CM=

6

2

，
∴四邊形ADCE的面積為：

1

2

（CD+AE）×CM=

1

2

（

2

+2

2

）×

6

2

=

3 3

2

．

點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理和梯形面積公式等知識，根據(jù)已知得出CE=

1

2

AE是解題關(guān)鍵．