Question

如圖①，已知二次函數(shù)y=a（x²-6x+8）（a＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）該拋物線的對(duì)稱軸為

 

； A點(diǎn)的坐標(biāo)

 

；B點(diǎn)的坐標(biāo)

 

；
（2）連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）如圖②，設(shè)點(diǎn)P（m，n）（n＞0）是該拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，試問：是否存在點(diǎn)P，使得線段PA、PB、PC、PD的長(zhǎng)度與一個(gè)平行四邊形的四條邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式，可得拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)函數(shù)值為零時(shí)，可得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠O′AM=60°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得∠OAC=∠O′AC=60°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定，可得PC與PD的關(guān)系，根據(jù)PC=PD，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=a（x²-6x+8）的對(duì)稱軸是x=-

-6a

2a

=3，
令y=0，由a（x²-6x+8）=0，
解得x₁=2，x₂=4；
令x=0，解得y=8a，
∴點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo)分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
故答案為：x=3，（2，0），（4，0）；


（2）如圖①，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，則AM=1，
由題意得：O′A=OA=2，
∴O′A=2AM，
∴∠O′AM=60°，
∴∠OAC=∠O′AC=60°，
∴OC=2

3

，即8a=2

3

，
∴a=

3

4

；

（3）存在P點(diǎn)，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，
如圖②，∵點(diǎn)A、B是拋物線與x軸交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，
∴PA=PB，
∴當(dāng)PC=PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，8a），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，-a），
點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，n），
∴PC²=3²+（n-8a）²，PD²=（n+a）²，
由PC=PD得PC²=PD²，
∴3²+（n-8a）²=（n+a）²，
整理得：7a²-2na+1=0，
解得n=

7a2+1

2a

=

7×( 3 4 )2+1

2× 3 4

=

11 3

8

，
當(dāng)n=

11 3

8

時(shí)，即P（3，

11 3

8

）使得線段PA、PB、PC、PD的長(zhǎng)度與一個(gè)平行四邊形的四條邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，把二次函數(shù)圖象與性質(zhì)和平行四邊形的判定相結(jié)合是解題關(guān)鍵．