Question

如圖，△ABD為等邊三角形，∠BCA=60°．求證：AC=BC+CD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：在AC上截取AE=BC，連接DE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得出∠DAE=∠CBD，證出△DAE≌△DBC，推出∠ADE=∠CDB，求出∠CDE=∠ADB=60°，得出△CDE是等邊三角形，推出DE=DC=CE即可．

解答：證明：在AC上截取AE=BC，連接DE，

∵△ABD是等邊三角形，∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，AD=BD，
∴A、D、C、B四點共圓，
∴∠CBD=∠DAE，
在△DAE和△DBC中，

AD=BD ∠DAE=∠DBC AE=BC

，
∴△DAE≌△DBC（SAS），
∴∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE+∠BDE=∠CDB+∠BDE，
∴∠CDE=∠ADB=60°，
∵DE=DC，
∴△CDE是等邊三角形，
∴DE=DC=CE，
∴AC=AE+CE=BC+CD．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線后推出△DAE≌△DBC．