Question

已知△ABC中，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，將△AEC沿CE所在直線折疊得△A′EC，BF∥AC交直線A′C于F，如圖（1）當(dāng)△ACB=90°，易證AC=CF+BF．

（1）若∠ACB為任意角，如圖（2）、圖（3），猜想線段AC、CF、BF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明圖（3）結(jié)論：
（2）若∠CBF=60°，BF=4，BC=6，則AC的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),翻折變換（折疊問(wèn)題）

專(zhuān)題：

分析：（1）連接A′B，易證∠FBA=∠A，可得∠FBA=∠EA′F，易證∠EA′B=∠EBA′，即可證明∠FBA′=∠FA′B，即可解題；
（2）根據(jù)余弦定理可以求得CF的長(zhǎng)，根據(jù)（1）中結(jié)論即可解題．

解答：（1）證明：連接A′B，

∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠A，
∵∠A=∠EA′F（折疊），
∴∠FBA=∠EA′F，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴AE=EB，
∵A'E=AE，
∴A'E=EB，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵∠EBF=∠EA′F，∠EA′B-∠EA′F=∠EBA′-∠EBF，
∴∠FBA′=∠FA′B．
∴FB=FA′，
∴FB+CF=AC；
（2）解：∵∠CBF=60°，BF=4，BC=6，CF²=BF²+BC²-2BC•BFcos∠CBF，
∴CF=2

7

，
∴AC=CF+BF=2

7

+4．
故答案為 2

7

+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形底角相等的性質(zhì)，考查了余弦定理的運(yùn)用，考查了折疊的性質(zhì)，本題中求證AF=BF是解題的關(guān)鍵．