Question

科幻小說《實(shí)驗(yàn)室的故事》中，有這樣一個情節(jié)：科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一天后，測試出這種植物高度的增長情況（如下表）：

溫度x/℃	…	-4	-2	0	2	4	4.5	…
植物每天高度增長量y/mm	…	41	49	49	41	25	19.75	…

由這些數(shù)據(jù)，科學(xué)家推測出植物每天高度增長量y是溫度x的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種．
（1）請你選擇一種適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，求出它的函數(shù)關(guān)系式，并簡要說明不選擇另外兩種函數(shù)的理由；
（2）溫度為多少時，這種植物每天高度增長量最大？
（3）如果實(shí)驗(yàn)室溫度保持不變，在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250mm，那么實(shí)驗(yàn)室的溫度x應(yīng)該在哪個范圍內(nèi)選擇？請直接寫出結(jié)果．

Answer 1

解：（1）選擇二次函數(shù)，設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），
∵x=-2時，y=49，
x=0時，y=49，
x=2時，y=41，
∴，
解得，
所以，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²-2x+49；
不選另外兩個函數(shù)的理由：
∵點(diǎn)（0，49）不可能在反比例函數(shù)圖象上，
∴y不是x的反比例函數(shù)；
∵點(diǎn)（-4，41），（-2，49），（2，41）不在同一直線上，
∴y不是x的一次函數(shù)；

（2）由（1）得，y=-x²-2x+49=-（x+1）²+50，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x=-1時，y有最大值為50，
即當(dāng)溫度為-1℃時，這種作物每天高度增長量最大；

（3）∵10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250mm，
∴平均每天該植物高度增長量超過25mm，
當(dāng)y=25時，-x²-2x+49=25，
整理得，x²+2x-24=0，
解得x₁=-6，x₂=4，
∴在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250mm，實(shí)驗(yàn)室的溫度應(yīng)保持在-6＜x＜4℃．
分析：（1）選擇二次函數(shù)，設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），然后選擇x=-2、0、2三組數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，再根據(jù)反比例函數(shù)的自變量x不能為0，一次函數(shù)的特點(diǎn)排除另兩種函數(shù)；
（2）把二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）求出平均每天的高度增長量為25mm，然后根據(jù)y=25求出x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出x的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，以及利用二次函數(shù)求不等式，仔細(xì)分析圖表數(shù)據(jù)并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．