Question

【題目】在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果點F與點A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數(shù)；

（2）如果點F在線段AE上（不與點A重合），如圖2，問∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

（3）如果點F在△ABC外部，如圖3，此時∠EFD與∠C﹣∠B的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，

∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=50°．

在△ACE中∠AEC=80°，

在Rt△ADE中∠EFD=90°﹣80°=10°

（2）解：∠EFD= （∠C﹣∠B）

證明：∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE= =90°﹣ （∠C+∠B）

∵∠AEC為△ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+90°﹣ （∠C+∠B）=90°+ （∠B﹣∠C）

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°．

∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）

∴∠EFD= （∠C﹣∠B）

（3）解：∠EFD= （∠C﹣∠B）．

如圖，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE= ．

∵∠DEF為△ABE的外角，

∴∠DEF=∠B+ =90°+ （∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°．

∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）

∴∠EFD= （∠C﹣∠B）

【解析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分線的性質(zhì)易得∠EAC的度數(shù)，可得∠EFD；（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE=90°﹣ （∠C+∠B），外角的性質(zhì)得出∠AEC=90°+ （∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠EFD；（3）與（2）的方法相同．
【考點精析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角和三角形的外角的相關(guān)知識點，需要掌握三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角才能正確解答此題．