Question

己知直角梯形ABCD中，AD∥BC．∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分別是BC、CD邊的中點．連接BF、DF交于點P．連接CP并延長交AB于點Q，連接AF，求證：
（1）CP平分∠BCD；
（2）四邊形ABED為平行四邊形；
（3）△ABF為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先得出△BCF≌△DCE（SAS），進而得出△BPE≌△DPF，即可得出BP=DP，得出△BPC≌△DPC即可解決問題；
（2）利用平行四邊形的判定中一組對邊平行且相等得出即可；
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)得出AB=DE，即可得出AB=BF，進而得出△ABF為等腰三角形．
解答：證明：（1）∵E、F分別是BC、CD邊的中點，
∴EC=FC，
∴在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，∠BPE=∠DPF，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，PC=PC，BC=CB，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠BCP=∠DCP；

（2）∵BC=CD=2AD，E是BC邊的中點，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABED為平行四邊形，

（3）∵四邊形ABED為平行四邊形，
∴AB=DE，
∵BF=ED，
∴AB=BF，
∴△ABF為等腰三角形．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△BPC≌△DPC是解題關(guān)鍵．