Question

閱讀理解：
如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，若

AC

AB

=

BC

AC

，則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．
某研究學(xué)習(xí)小組，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，而給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁、S₂，如果

S1

S

=

S2

S1

，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
問題解決：
如圖2，在△ABC中，若點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)．
（1）研究小組猜想：直線CD是△ABC的黃金分割線，你認(rèn)為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組探究發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C作直線交AB于E，過D作DF∥CE，交AC于F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由． 

Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割

專題：

分析：（1）根據(jù)黃金分割的定義得

AD

AB

=

BD

AD

，再根據(jù)三角形面積公式得到

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，所以

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，然后根據(jù)黃金直線的定義得直線CD是△ABC的黃金分割線；
（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和三角形面積公式得到

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

=1，而

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

＜1，由此可根據(jù)黃金直線的定義判斷三角形的中線不是該三角形的黃金分割線；
（3）根據(jù)兩平行線之間的距離定值，得到S_△FDE=S_△FDC，S_△DEC=S_△FEC，則S_△AEF=S_△ADC，S_{四邊形BEFC}=S_△BDC，然后由

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

得到

S△AEF

S△ABC

=

S四邊形BEFC

S△AEF

，則可根據(jù)黃金直線的定義判斷直線EF也是△ABC的黃金分割線．

解答：解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：
∵點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，
∵

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，
∴

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴直線CD是△ABC的黃金分割線；
（2）∵三角形的中線把AB分成相等的兩條線段，即AD=BD，
∴

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

=1，
∴三角形的中線不是該三角形的黃金分割線；
（3）∵DF∥CE，
∴S_△FDE=S_△FDC，S_△DEC=S_△FEC，
∴S_△AEF=S_△ADC，S_{四邊形BEFC}=S_△BDC，
∵

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

S四邊形BEFC

S△AEF

，
∴直線EF是△ABC的黃金分割線．

點(diǎn)評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個．