Question

已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊長(zhǎng)為5．
（1）試說(shuō)明方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；
（3）當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題

分析：（1）要證明無(wú)論k為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就是證明△＞0，而△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）要得到△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，即要有BC²=AC²+AB²，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用k表示AC²+AC²，得到k的方程，解方程，再根據(jù)題意取舍即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值．

解答：（1）證明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴無(wú)論k取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2﹚解：當(dāng)△ABC是以BC為斜邊的直角三角形時(shí)，有AB²+AC²=BC²
又∵BC=5，兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴AB²+AC²=25，AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
由（AB+AC）²-2AB•AC=25
∴（2k+3）²-2•（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k₁=2或k₂=-5
又∵AB+AC=2k+3＞0
∴k₂=-5舍去
∴k=2；

（3）∵△ABC是等腰三角形；
∴當(dāng)AB=AC時(shí)，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0
解得k不存在；
當(dāng)AB=BC時(shí)，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周長(zhǎng)為14或16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了勾股定理的逆定理和一元二次方程的解法．