Question

【題目】（問題情境）

如圖，在正方形ABCD中，點E是線段BG上的動點，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F．

（探究展示）

（1）如圖1，若點E是BC的中點，證明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．

（2）如圖2，若點E是BC的上的任意一點（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．

（拓展延伸）

（3）如圖3，若點E是BC延長線（C除外）上的任意一點，求證：AE=EF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立；證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

(1)取AB的中點M,連結(jié)EM,根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可;
(2)在AB上取一點M,使AM=CE,連接ME,根據(jù)已知條件利用ASA判定,利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.
(3)在BA的延長線上取一點M,使AM=CE,連接ME,根據(jù)已知利用ASA判定,利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.

（1）證明：取AB的中點M，連結(jié)EM，如圖1：

∵M是AB的中點，E是BC的中點，

∴在正方形ABCD中，AM=EC，

∵CF是∠DCG的平分線，

∴∠BCF=135°，

∴∠AME=∠ECF=135°，

∵∠MAE=∠CEF=45°，

在△AME與△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

（2）證明：取AB上的任意一點使得AM=EC，連結(jié)EM，如圖2：

∵AE⊥EF，AB⊥BC，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠MAE=∠CEF，

∵AM=EC，

∴在正方形ABCD中，BM=BE，

∴∠AME=∠ECF=135°，

在△AME與△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；

（3）證明：取AB延長線上的一點M使得AM=CE，如圖3：

∵AM=CE，AB⊥BC，

∴∠AME=45°，

∴∠ECF=AME=45°，

∵AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

∵MA⊥AD，AE⊥EF，

∴∠MAE=∠CEF，

在△AME與△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（SAS），

∴AE=EF．