Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），C（2，0），將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180⁰，得到矩形OEFG，順次連接AC、CE、EG、GA．

（1）請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）試判斷四邊形ACEG的形狀，并說明理由；
（3）將矩形OABC沿y軸向下平移m個(gè)單位（0＜m＜4），設(shè)平移過程中矩形與△AEC重疊部分面積為S₁，當(dāng)S₁：S_△AEC=11：16時(shí)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出OC=OG=AB=2，BC=FG=4，即可得出答案；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OA=OE，OC=OG，得出平行四邊形，根據(jù)AE⊥CG即可得出答案；
（3）求出S_△AA′M+S_△EO′N=

5

16

S_△ACE，求出后代入得出關(guān)于m的方程，求出即可．

解答：解：（1）∵A（0，4），C（2，0），將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180⁰，得到矩形OEFG，
∴BC=FG=4，OC=AB=OG=2，
∴F（-2，-4）；

（2）四邊形ACEG是菱形，
理由：根據(jù)題意得：OA=OE，OC=OG，
∴四邊形ACEG是平行四邊形，
又∵AE⊥GC
∴四邊形ACEG是菱形；

（3）如圖，將矩形OABC沿y軸向下平移m個(gè)單位得到矩形O′A′B′C′，
則當(dāng)S₁：S_△AEC=11：16時(shí)，重疊部分為五邊形MCNO′A′，
∵S₁：S_△AEC=11：16，
∴S△AAM′+S△EON′=

5

16

S△AEC=

5

16

×8=

5

2

，
∵A′B′∥GC，
∴△AA′M∽△AOC，
∴

AA′

A′M

=

AO

OC

=2，
∴A′M=

1

2

AA′=

1

2

m，
∴S△AAM′=

1

2

×

1

2

m×m=

1

4

m2，
同理可得：S△EO′N=

1

4

(4-m)2，
∴

1

4

m2+

1

4

(4-m)2=

5

2

，
解得：m=1或m=3．

點(diǎn)評：本題考查了三角形面積，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較典型，是一道比較好的題目．