Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，點D是BC上任意點，以AD為邊作∠ADE=∠ADF=60°，分別交AC，AB于點E，F.

(1)求證：AD2=AE×AC

(2)已知BC=2，設(shè)BD的長為x，AF的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)y=x2-x+2(0≤x≤2).

【解析】

（1）只要證明△ADE∽△ACD，即可解決問題．

（2）先證明△DAF∽△BAD，得到AD2=AF×AB，根據(jù)（1）的結(jié)論可以得到AE=AF，又證明△ABD∽△DCE，得到，則有，即可得到答案.

解：(1)在等邊△ABC中∠B=∠C=60°

∵∠ADE=60°

∴∠ADE=∠ACD，∠DAE=∠CAD

∴△ADE∽△ACD

∴=

∴AD2=AE×AC；

(2)∵∠B=∠ADF，∠DAF=∠BAD

∴△DAF∽△BAD

∴=

∴AD2=AF×AB

∴△DAF∽△BAD

由(1)知AD2=AE×AC，且AB=AC

∴AE=AF

∵∠B=∠C=∠ADE且∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE

∴

∵BC=2，BD=x，AF=y

∴AB=2，CD=2-x，CE=2-y

∴=

∴.