Question

【題目】閱讀材料，解決問題
平面內(nèi)的兩條直線相交和平行兩種位置關(guān)系，如圖①，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因?yàn)椤螧OD是△POD的外角，所以∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．

（1）將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，其余條件不變，如圖②，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）在圖②中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖③，能否借助（1）中的圖形與結(jié)論，找出圖③中∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：結(jié)論不成立，∠BPD=∠B+∠D．

作PQ∥AB，如圖2，

∵AB∥CD，

∴AB∥PQ∥CD，

∴∠1=∠B，∠2=∠D，

∴∠BPD=∠B+∠D

（2）解：∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．理由如下：

連結(jié)QP并延長(zhǎng)到E，如圖3，

∵∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，

∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP，

∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．

【解析】（1）作PQ∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)得AB∥PQ∥CD，則∠1=∠B，∠2=∠D，得出∠BPD=∠B+∠D；（2）連結(jié)QP并延長(zhǎng)到E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，然后把兩式相加即可得到∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．