Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．

（1）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，求b2﹣4ac的值；
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求b2﹣4ac的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，過(guò)C作CD⊥AB于D，則AB=2CD；

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△＞0，

∴|b2﹣4ac|=b2﹣4ac，

∵AB= ，

又∵CD= （a≠0），

∴ = ，

即 = ，

∴b2﹣4ac= ，

∵b2﹣4ac≠0，

∴b2﹣4ac=4

（2）

解：如圖，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，

由（1）可知CE= AE= AB，

∴ = × ，

∵b2﹣4ac＞0，

∴ = ，

∴b2﹣4ac=12．

【解析】（1）由于拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以b2﹣4ac＞0；可求得線段AB的表達(dá)式，利用公式法可得到頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得斜邊AB上的高（設(shè)為CD），若△ABC為等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系求出b2﹣4ac的值；（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，解直角△ACE，得CE= AE= AB，據(jù)此列出方程，解方程求出b2﹣4ac的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°，以及對(duì)等邊三角形的性質(zhì)的理解，了解等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．