Question

（本題8分）已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，點A、B分別是x軸和y軸上的一動點．

（1）如圖1，若點C的橫坐標為－4，求點B的坐標；

（2）如圖2，BC交x軸于D，若點C的縱坐標為3，A（5，0），求點D的坐標．

（3）如圖3，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y軸于M，求 S△BEM：S△ABO．

Answer 1

【解析】
（1）如圖1，作CM⊥y軸于M，則CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90゜，

∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△BCM和△ABO中

∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴OB=CM=4，

∴B（0，-4）．

（2）如圖2，作CM⊥y軸，

∵∠CBO+∠OBA=∠CBA=90°，

∠OBA+∠BAO=90°，

在△CMB和△BOA中，

∴△CMB≌△BOA（AAS），

∴CM=BO，AO=BM，

∵點C的縱坐標為3，

∴MO=3，

∴CM=BO=BM-MO=5-3=2，

∵CM⊥y軸，

∴△BDO∽△BCM，

∴，

即DO=

故點D的坐標為

（3）如圖3，作EN⊥y軸于N，

∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，

∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠NBE=∠BAO，

在△ABO和△BEN中

∴△ABO≌△BEN（AAS），

∴△ABO的面積=△BEN的面積，OB=NE=BF，

∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，

∴在△BFM和△NEM中

，

∴△BFM≌△NEM（AAS），

∴BM=NM，

∵△BME邊BM上的高和△NME的邊MN上的高相等，

∴，

.

【解析】

試題分析：（1）作CM⊥y軸于M，則CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90゜，∠CBM=∠BAO，證△BCM≌△ABO，求出OB=CM=4即可．

（2）作CM⊥y軸于M，利用AAS得到△CMB≌△BOA，得到各邊長，然后由△BDO∽△BCM得到DO的長度，繼而得到點D坐標；

（3）作EN⊥y軸于N，求出∠NBE=∠BAO，證△ABO≌△BEN，推出△ABO的面積=△BEN的面積，OB=NE=BF，

∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，證△BFM≌△NEM，推出BM=NM，根據(jù)三角形面積公式得出，即可得出答案．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；等腰直角三角形.