Question

已知關(guān)于x的一元二次方程 .（其中m為實(shí)數(shù)）
（1）若此方程的一個(gè)非零實(shí)數(shù)根為k，
① 當(dāng)k = m時(shí)，求m的值；
② 若記為y，求y與m的關(guān)系式；
（2）當(dāng)＜m＜2時(shí)，判斷此方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由

Answer 1

（1）
①1
②
（2）當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

解：（1）∵ k為的實(shí)數(shù)根，
∴ .※ …………………………………………1分
① 當(dāng)k = m時(shí)，
∵ k為非零實(shí)數(shù)根，
∴ m ≠ 0，方程※兩邊都除以m，得.
整理，得 .
解得 ，. ………………………………………………………2分
∵ 是關(guān)于x的一元二次方程，
∴ m ≠ 2.
∴ m=" 1." ……………………………………………………………………3分
（閱卷說(shuō)明：寫對(duì)m= 1，但多出其他錯(cuò)誤答案扣1分）
② ∵ k為原方程的非零實(shí)數(shù)根，
∴ 將方程※兩邊都除以k，得.…………………4分
整理，得 .
∴ .……………………………………………5分
（2）解法一： .………6分
當(dāng)＜m＜2時(shí)，m＞0，＜0.
∴ ＞0，＞1＞0，Δ＞0.
∴ 當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. ……………7分
解法二：直接分析＜m＜2時(shí)，函數(shù)的圖象，
∵ 該函數(shù)的圖象為拋物線，開(kāi)口向下，與y軸正半軸相交，
∴ 該拋物線必與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn). …………………………6分
∴ 當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. ……………7分
解法三：.…………6分
結(jié)合關(guān)于m的圖象可知，（如圖6）

當(dāng)＜m≤1時(shí)，＜≤4；
當(dāng)1＜m＜2時(shí)，1＜＜4.
∴ 當(dāng)＜m＜2時(shí)，＞0.
∴ 當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.…7分